安德雷·安德耶维齐·马尔可夫（A.A.Markov，1856-1922），彼得堡数学学派的代表任务，以数论和概率论方面的工作著称，其以马尔可夫假设而得名。

背景介绍

      19世纪初，概率论的发展从对（相对静态的）随机变量的研究发展到对随机变量的时间序列$s_1$,$s_2$,...$s_t$,...，即随机过程（动态）的研究。在数学上，这是工具的升级；在哲学上，这是人类认知的一个飞跃。随机过程比随机变量复杂得多。首先，在任何一个时刻$t$，其所对应的状态$s_i$是随机的。再者，任何一个状态$s_t$的取值都可能和周围其它的状态相关。

马尔可夫链

      在上述背景中，介绍了随机过程中状态序列分析的复杂性。在这里，假设存在一个时间序列$s_1$,$s_2$,...$s_t$，现在我们要计算该序列成的概率，即要求：

$P(s_1s_2$...$s_t)$的值。依据条件概率公式，可得：

$P(s_1s_2$...$s_t)=P(s_1)P(s_2|s_1)P(s_3|s_1s_2)$...$P(s_t|s_1s_2...s_{t-1})$

上面这个式子是没有什么问题的，但是对于它的计算就存在一些障碍。首先，$P(s_1)$、$P(s_2|s_1)$、$P(s_3|s_1s_2)$的计算是可以接受的。但随着$t$的增大，越到后面，计算量就越大。因此，对于这个公式只能进行估算。

      马尔可夫链就是这样一种工具，假设在随机过程中各个状态$s_t$的概率分布只与其前一个状态$s_{t-1}$，而与其它状态无关，即：

$P(s_t|s_1s_2...s_{t-1})$=$P(s_t|s_{t-1})$。

有了这么一个假设，之前的公式计算就变得可能了：

$P(s_1s_2$...$s_t)=P(s_1)P(s_2|s_1)P(s_3|s_2)$...$P(s_t|s_{t-1})$

 上述的假设仅仅是对时间序列的状态做的一种近似估计，当然并不是所有的应用都会符合这种假设。这个假设被命名为马尔可夫假设，凡是符合该假设的随机过程便称之为马尔可夫过程，也称为马尔可夫链。

 

参考文献

[1] 吴军. 数学之美[M]. 人民邮电出版社, 2014.

[2] 李航. 统计学习方法[M]. 清华大学出版社, 2012.